正數(shù)和負(fù)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)1 正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。

(2)像-3、-1.5、-1/2、-584等在正數(shù)前面加“-”(讀作負(fù))號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。

(3)零即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。

注意：

(1)為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時(shí)也可以加上“+”(讀作正)號(hào)，例如：3、1.5也可以寫作+3、+1.5。

(2)對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡(jiǎn)單理解為：帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)。

不一定

例如：-a一定是負(fù)數(shù)嗎?答案是。因?yàn)樽帜竌可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則-a是負(fù)數(shù);若a表示的是0，則-a仍是0;當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a就不是負(fù)數(shù)了(此時(shí)-a是正數(shù))。

正數(shù)、負(fù)數(shù)表示

正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的，隨著社會(huì)的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢?

正數(shù)和負(fù)數(shù)

我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了。

用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。

有理數(shù)

知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)的有關(guān)概念

有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

注：(1)有時(shí)為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時(shí)的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本講中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。

(2)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。

(3)“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。

整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。

知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)的分類

(1)按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：

(2)按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

注：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)(也叫做自然數(shù))，負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。

如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù);a<0表明a是負(fù)數(shù);a≥0表明a是非負(fù)數(shù);a≤0表明a是非正數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)3 數(shù)軸

數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運(yùn)算的重要工具，數(shù)與表示數(shù)的圖形(如數(shù)軸)相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。正如華羅庚教授詩云：

數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)是難入微。

數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。

切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離!

數(shù)與形的第一次聯(lián)姻——數(shù)軸，使數(shù)與直線上的點(diǎn)之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。

1.數(shù)軸的定義：

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

數(shù)軸的定義包含三層含義：

(1)數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸;

原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度

(2)數(shù)軸有三要素——，三者缺一不可;

(3)原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長(zhǎng)度大小的確定，都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的(通常取向右為正方向)。

2.數(shù)軸的畫法：

(1)畫一條直線(一般畫成水平的直線)。

(2)在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并用這點(diǎn)表示零(在原點(diǎn)下面標(biāo)上“0”)。

(3)確定正方向(一般規(guī)定向右為正)，用箭頭表示出來。

(4)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示為1，2，3……;從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示為-1，-2，-3……

注：

(1)原點(diǎn)的位置、單位長(zhǎng)度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選取;

(2)確定單位長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向右，依次表示為2，4，6，……;從原點(diǎn)向左，依次表示為-2，-4，-6，……;

3.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系：

所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示。

4.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小：

在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0;負(fù)數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)4 相反數(shù)

1.相反數(shù)的定義

(1)相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。如，4與-4互為相反數(shù)。

(2)相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)(除了符號(hào)不同以外完全相同)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)。

2.相反數(shù)的性質(zhì)：

任何一個(gè)數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個(gè)。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。

0是唯一一個(gè)相反數(shù)等于本身的數(shù)。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

3.相反數(shù)的特征：

若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0(或a=-b)

若a+b=0(或a=-b)，則a與b互為相反數(shù)。

4.求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法：(見書)

5.多重符號(hào)的化簡(jiǎn)

(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”號(hào)，仍然與原數(shù)相同，如+5=5，+(-5)=-5。

(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“-”號(hào)，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如-(-3)就是-3的相反數(shù)，因此，-(-3)=3。

知識(shí)點(diǎn)5 絕對(duì)值的概念

1.絕對(duì)值的幾何定義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，數(shù)a的絕對(duì)值記作“丨a丨”

2.絕對(duì)值的代數(shù)定義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0。

知識(shí)點(diǎn)6 有理數(shù)大小的比較

正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

利用數(shù)軸，在數(shù)軸右邊的數(shù)永遠(yuǎn)大于左邊的數(shù)。

有理數(shù)的加減法

有理數(shù)的加法

把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法。

相加的兩個(gè)有理數(shù)有以下幾種情況：

(1)兩數(shù)都是正數(shù);

(2)兩數(shù)都是負(fù)數(shù);

(3)兩數(shù)異號(hào)，即一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù);

(4)一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是0;

(5)一個(gè)是負(fù)數(shù)，一個(gè)是0;

(6)兩個(gè)都是0。

知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)加法法則

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

(2)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。

(3)一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)3 有理數(shù)加法的運(yùn)算定律

(1)加法交換律：a+b=b+a。

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

知識(shí)點(diǎn)4 有理數(shù)減法法則

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。

知識(shí)點(diǎn)5 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

1.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義

對(duì)于有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中的減法，可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法。

這樣一來，就將原來的混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算。統(tǒng)一成加法以后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，有時(shí)，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。

2.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法

(1)運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

(2)運(yùn)用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡(jiǎn)便運(yùn)算。

有理數(shù)的乘除法

知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)乘法法則

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。

知識(shí)點(diǎn)2 倒數(shù)的概念

乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

由于a×1/a(a≠0) ，所以當(dāng)a是不為0的有理數(shù)時(shí)，a的倒數(shù)是1/a。若a、b互為倒數(shù)，則ab=1。

知識(shí)點(diǎn)3有理數(shù)乘法法則的推廣

(1)幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù);當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。

知識(shí)點(diǎn)4 有理數(shù)乘法的運(yùn)算定律

(1)乘法交換律：ab=ba。

(2)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)。

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac。

知識(shí)點(diǎn)5 有理數(shù)除法法則

(1)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

知識(shí)點(diǎn)6 有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

除轉(zhuǎn)乘，確定符號(hào)。

知識(shí)點(diǎn)7 有理數(shù)的四則混合運(yùn)算

先乘除，后加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。同級(jí)運(yùn)算中，要按照從左到右的順序。

有理數(shù)的乘方

知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)乘方的意義

知識(shí)點(diǎn)2 有理數(shù)乘方運(yùn)算的性質(zhì)

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù);負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。0的任何次冪都是0。

知識(shí)點(diǎn)3 有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。

知識(shí)點(diǎn)4 科學(xué)計(jì)數(shù)法

知識(shí)點(diǎn)5 研究近似數(shù)的意義

在生產(chǎn)實(shí)踐和實(shí)際生活中，不僅存在著大量的準(zhǔn)確數(shù)，同時(shí)也存在著大量的近似數(shù)。近似數(shù)就是與實(shí)際接近的數(shù)。

出現(xiàn)近似數(shù)的原因有兩點(diǎn)：一是有時(shí)候不能得到完全準(zhǔn)確的數(shù)，如太陽的半徑大約是696 000千米;二是有時(shí)也沒有必要弄得完全準(zhǔn)確，如買10千克大米，有時(shí)可能多一點(diǎn)，有時(shí)也可能少一點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)6 有效數(shù)字

四舍五入后的近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

方法技巧1：

在只含有乘、除法的算式中，可以由“負(fù)”號(hào)的個(gè)數(shù)確定結(jié)果的符號(hào)。“負(fù)”號(hào)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果為負(fù);“負(fù)”號(hào)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果為正。

方法技巧2：

分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運(yùn)算，通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。當(dāng)把乘除都化成乘積的形式時(shí)，應(yīng)先確定積和符號(hào)。含有多重括號(hào)，去括號(hào)的一般方法是由內(nèi)向外，即依次去掉小、中、大括號(hào)，也可以由外到內(nèi)。在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是運(yùn)算順序，二是運(yùn)算符號(hào)。

方法技巧3：

靈活運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，適當(dāng)?shù)靥砑踊蛉ダㄌ?hào)改變運(yùn)算順序常可達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果。湊整、分組、拆項(xiàng)、相消、分解相約、整體處理等是有理數(shù)運(yùn)算常用的方法與技巧。

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